Probabilitas

Statistik Dasar dalam Penelitian Psikologi

Rizqy Amelia Zein

Departemen Psikologi, Universitas Airlangga

2026-04-25

Outline

  • Apa itu probabilitas?
  • Dua pendekatan: frequentist vs Bayesian
  • Aturan dasar probabilitas
  • Distribusi probabilitas
  • Distribusi normal dan z-score
  • Sampling distribution of the mean
  • Jembatan menuju statistik inferensial

Apa itu probabilitas?

Apa itu probabilitas?

  • Probabilitas adalah ukuran ketidakpastian — seberapa besar kemungkinan suatu kejadian terjadi
  • Dinyatakan dalam angka antara 0 (mustahil) dan 1 (pasti terjadi)
  • Contoh: probabilitas mendapatkan angka 6 saat melempar dadu = 1/6 ≈ 0.167

Note

Dalam penelitian psikologi, kita tidak pernah bisa membuktikan sesuatu secara mutlak — kita hanya bisa menyatakan seberapa mustahil temuan kita terjadi secara kebetulan. Inilah inti dari logika probabilistik dalam ilmu pengetahuan.

Notasi:

  • \(P(A)\) = probabilitas kejadian A
  • \(P(A) = 0\) → kejadian A mustahil terjadi
  • \(P(A) = 1\) → kejadian A pasti terjadi
  • \(0 \leq P(A) \leq 1\) selalu berlaku

Dua pendekatan probabilitas

Frequentist

  • Probabilitas = proporsi kejadian jika percobaan diulang sangat banyak kali
  • “Kalau kita melempar koin 10.000 kali, sekitar 5.000 kali akan muncul gambar”
  • Tidak bisa digunakan untuk kejadian yang tidak bisa diulang
  • Fondasi dari statistik klasik (NHST, p-value, confidence interval)

Bayesian

  • Probabilitas = derajat keyakinan (degree of belief) yang bisa diperbarui dengan data baru
  • “Berdasarkan bukti yang ada, seberapa yakin saya bahwa hipotesis ini benar?”
  • Memungkinkan kita menggabungkan pengetahuan sebelumnya (prior) dengan data baru
  • Semakin populer di Psikologi — misalnya Bayes Factor sebagai alternatif p-value

Note

Sebagian besar statistik yang kalian pelajari di S1 menggunakan pendekatan frequentist. Penting untuk memahami asumsi ini agar kalian bisa menginterpretasi hasil analisis dengan benar.

Aturan dasar probabilitas

Aturan penjumlahan (Addition Rule)

Kejadian mutually exclusive (tidak bisa terjadi bersamaan):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

  • Contoh: Probabilitas mendapatkan angka 1 atau angka 2 saat melempar dadu = 1/6 + 1/6 = 2/6

Kejadian yang tidak mutually exclusive (bisa terjadi bersamaan):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

  • Contoh: Probabilitas mahasiswa lulus statistik atau lulus metodologi, di mana beberapa mahasiswa bisa lulus keduanya

Aturan perkalian (Multiplication Rule)

Kejadian independen (kejadian A tidak memengaruhi kejadian B):

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

  • Contoh: Probabilitas mendapat angka 6 dua kali berturut-turut = 1/6 × 1/6 = 1/36

Probabilitas bersyarat (conditional probability):

\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

  • \(P(A|B)\) dibaca: “probabilitas A terjadi, diketahui B sudah terjadi”
  • Contoh: Probabilitas mahasiswa mendapat nilai A diketahui mereka hadir di semua kuliah

Important

Kebanyakan analisis statistik mengasumsikan independensi antar-observasi. Melanggar asumsi ini (misalnya, data dari mahasiswa dalam kelas yang sama) akan membuat estimasi kita tidak akurat.

Komplemen

  • Probabilitas kejadian A tidak terjadi:

\[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]

  • Contoh: Jika probabilitas hujan besok = 0.3, maka probabilitas tidak hujan = 1 - 0.3 = 0.7

Note

Aturan komplemen ini adalah fondasi dari p-value dalam uji hipotesis. Ketika kita mengatakan p = 0.03, artinya probabilitas mendapatkan data seperti yang kita amati (atau lebih ekstrem) jika hipotesis nol benar adalah 0.03 — sangat kecil, sehingga kita meragukan hipotesis nol.

Distribusi probabilitas

Apa itu distribusi probabilitas?

  • Distribusi probabilitas menggambarkan semua kemungkinan nilai yang bisa diambil suatu variabel beserta probabilitas masing-masing nilai tersebut
  • Ada dua jenis utama:
Diskret Kontinu
Jenis variabel Nilai cacahan (0, 1, 2, …) Nilai tak terbatas dalam suatu rentang
Probabilitas \(P(X = x)\) untuk nilai tertentu Probabilitas untuk interval nilai
Contoh Jumlah anak, jumlah kesalahan Tinggi badan, skor IQ, kecemasan
Distribusi umum Binomial, Poisson Normal, t, F, \(\chi^2\)

Distribusi binomial

  • Digunakan untuk variabel diskret dengan dua kemungkinan hasil (sukses vs gagal)
  • Parameter: n (jumlah percobaan) dan p (probabilitas sukses)

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

  • Contoh: Dari 10 pasien yang mendapat terapi CBT, berapa probabilitas tepat 7 pasien mengalami perbaikan gejala, jika diketahui probabilitas perbaikan = 0.6?
  • Distribusi binomial adalah fondasi dari binomial test (yang akan kita pelajari di analisis data kategorikal)

Note

Ketika n sangat besar dan p tidak terlalu ekstrem, distribusi binomial mendekati distribusi normal — inilah salah satu alasan mengapa distribusi normal sangat penting.

Distribusi normal dan z-score

Distribusi normal sebagai distribusi probabilitas

  • Distribusi normal adalah distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam statistik
  • Didefinisikan sepenuhnya oleh dua parameter: μ (mean populasi) dan σ (standar deviasi populasi)

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]

  • Total area di bawah kurva = 1 (semua probabilitas berjumlah 1)
  • Probabilitas untuk interval tertentu = area di bawah kurva pada interval tersebut

Z-score (skor baku)

  • Z-score mengubah nilai mentah menjadi satuan standar deviasi dari mean:

\[z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

  • Distribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1 disebut distribusi normal standar (standard normal distribution)

Kegunaan z-score:

  • Membandingkan nilai dari distribusi yang berbeda (misalnya, skor IQ vs skor kecemasan)
  • Menghitung probabilitas mendapatkan nilai tertentu atau lebih ekstrem
  • Menentukan persentil — posisi relatif suatu nilai dalam distribusi

Membaca tabel z / menggunakan distribusi normal

Contoh interpretasi:

  • z = 1.96 → 97.5% data berada di bawah nilai ini; hanya 2.5% berada di atasnya
  • z = ±1.96 → 95% data berada di antara kedua nilai ini

Note

Angka 1.96 akan sering muncul — ini adalah z-score yang membatasi 95% tengah distribusi normal. Angka ini menjadi dasar dari confidence interval 95% dan critical value pada uji dua sisi dengan α = 0.05.

Contoh soal:

Diketahui skor kecemasan di populasi mahasiswa berdistribusi normal dengan μ = 50 dan σ = 10. Berapa probabilitas seorang mahasiswa memiliki skor kecemasan lebih dari 65?

  • \(z = (65 - 50) / 10 = 1.5\)
  • \(P(X > 65) = P(z > 1.5) = 1 - 0.933 = 0.067\)
  • Hanya sekitar 6.7% mahasiswa memiliki skor kecemasan di atas 65

Sampling distribution of the mean

Dari satu sampel ke banyak sampel

  • Sejauh ini kita berbicara tentang distribusi data individual dalam populasi
  • Tetapi dalam penelitian, kita bekerja dengan mean sampel — bukan nilai individual
  • Pertanyaan penting: kalau kita mengambil banyak sampel berbeda dari populasi yang sama, bagaimana mean sampel-sampel itu terdistribusi?

Bayangkan eksperimen berikut:

  1. Ambil sampel 30 mahasiswa dari populasi mahasiswa Unair, hitung mean kecemasan → dapat satu nilai mean
  2. Ambil sampel lain 30 mahasiswa, hitung mean lagi → dapat nilai mean yang berbeda
  3. Ulangi 1.000 kali → dapatkan 1.000 nilai mean
  4. Buat histogram dari 1.000 nilai mean tersebut → inilah sampling distribution of the mean

Karakteristik sampling distribution of the mean

Jika populasi memiliki mean μ dan standar deviasi σ, maka sampling distribution of the mean dari sampel berukuran n memiliki:

  • Mean = μ (sama dengan mean populasi)
  • Standar deviasi = \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) — disebut standard error of the mean
  • Bentuk mendekati normal, terlepas dari bentuk distribusi populasi aslinya (ini adalah Central Limit Theorem — akan dibahas lebih dalam di materi berikutnya)

Important

Ini adalah konsep kunci dalam statistik inferensial. Ketika kita menghitung p-value atau confidence interval, kita sebenarnya menggunakan sampling distribution — bukan distribusi data mentah kita.

Standard error of the mean

\[SE_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{s}{\sqrt{n}}\]

  • Standard error (SE) menggambarkan seberapa bervariasi mean sampel jika kita mengulang pengambilan sampel berkali-kali
  • Semakin besar n, semakin kecil SE → mean sampel kita semakin presisi sebagai estimasi μ
  • Ini mengapa ukuran sampel penting: sampel yang lebih besar memberikan estimasi yang lebih akurat

Note

SE berbeda dari standar deviasi (SD). SD menggambarkan variabilitas data individual dalam sampel. SE menggambarkan variabilitas mean sampel di antara semua sampel yang mungkin diambil dari populasi yang sama.

Mengapa ini penting untuk inferensi?

  • Kita hanya punya satu sampel dalam penelitian nyata
  • Tapi dengan memahami sampling distribution, kita bisa menjawab: “Seberapa jauh mungkin mean sampel kita menyimpang dari mean populasi yang sebenarnya?”
  • Ini adalah pertanyaan yang dijawab oleh:
    • Confidence interval — memberikan rentang nilai yang plausible untuk parameter populasi
    • p-value — mengukur seberapa tidak mungkin data kita muncul jika hipotesis nol benar
    • Statistical power — kemampuan kita mendeteksi efek yang nyata

Tip

Pemahaman tentang sampling distribution adalah pondasi dari seluruh statistik inferensial. Semua teknik yang akan kita pelajari berikutnya — t-test, ANOVA, korelasi, regresi — semuanya bersandar pada konsep ini.

Jembatan menuju statistik inferensial

Dari probabilitas ke inferensi: rantai logikanya

Semua yang sudah kita pelajari membentuk satu rantai logika:

  1. Probabilitas → memberi kita bahasa untuk berbicara tentang ketidakpastian
  2. Distribusi normal → menggambarkan bagaimana nilai terdistribusi di populasi
  3. Sampling distribution → menggambarkan bagaimana mean sampel berperilaku jika kita mengulang pengambilan sampel
  4. Standard error → mengukur seberapa besar ketidakpastian estimasi kita
Populasi (μ, σ)
      ↓
  Ambil sampel
      ↓
Hitung statistik
  (x̄, s, SE)
      ↓
Gunakan sampling
  distribution
      ↓
Buat inferensi
tentang populasi

Dua pilar statistik inferensial

Semua teknik yang akan kita pelajari berikutnya bersandar pada dua pilar ini:

1. Estimasi parameter

“Berapa nilai parameter populasi yang paling masuk akal berdasarkan data sampel kita?”

  • Estimasi titik: mean sampel sebagai estimasi μ
  • Confidence interval: rentang nilai yang plausible untuk parameter populasi
  • Lebar CI ditentukan oleh SE dan tingkat kepercayaan yang dipilih

2. Uji hipotesis

“Seberapa mustahil pola yang kita temukan di data muncul jika hipotesis nol benar?”

  • Hitung statistik uji (t, F, z, χ²) dari data sampel
  • Bandingkan dengan sampling distribution di bawah H₀
  • p-value = probabilitas mendapat data seperti ini (atau lebih ekstrem) jika H₀ benar

Tip

Keduanya — CI dan p-value — hanyalah dua cara berbeda untuk menggunakan sampling distribution yang sama. Materi berikutnya akan mengembangkan kedua pilar ini satu per satu.

Ada pertanyaan❓

Note